2024年四川高职向量高考典型题型_2024年四川高职高考数学

向量高考典型题型

四川高职教育一直致力于提高学生的数学素养，向量作为高中数学的重要内容之一，也是高考必考的题型。下面介绍一些四川高职向量高考典型题型。

平面向量基本概念

题目：已知向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的模长分别为3、4，且$\vec{a}+\vec{b}$的模长为5，求$\vec{a}-\vec{b}$的模长。

解析：根据向量的基本运算，有$(\vec{a}+\vec{b})^2=(3+4)^2=49$，即$\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2=25$。又因为$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2)=-\frac{7}{2}$，代入可得$\vec{a}-\vec{b}$的模长为$\sqrt{(\vec{a}-\vec{b})^2}=2$。

向量共线与垂直

题目：已知向量$\vec{a}=(1,-2,1)$，$\vec{b}=(3,2,-1)$，判断$\vec{a}$和$\vec{b}$的关系。

解析：如果两个向量共线，则它们叉乘的结果为0向量，即$\vec{a}\times\vec{b}=0$；如果两个向量垂直，则它们点乘的结果为0，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。计算可得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+(-2)\times2+1\times(-1)=0$，因此$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直。

向量投影

题目：已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,3,4)$，求$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影。

解析：向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\times\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$。计算可得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times3+3\times4=20$，$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}$，$\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{3}{\sqrt{29}},\frac{4}{\sqrt{29}})$。因此，$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为$(\frac{40}{29},\frac{60}{29},\frac{80}{29})$。

向量夹角

题目：已知向量$\vec{a}=(1,1,1)$，$\vec{b}=(2,3,4)$，求$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

解析：向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角为$\arccos\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。计算可得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+1\times3+1\times4=9$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}$。因此，$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角为$\arccos\frac{9}{\sqrt{3}\sqrt{29}}$。